10 Contoh Soal Limit Menggunakan Metode Substitusi

Pendahuluan

Dalam pelajaran matematika, khususnya kalkulus dasar, limit merupakan salah satu konsep penting yang harus dipahami sejak awal. Limit digunakan untuk mengetahui nilai suatu fungsi ketika variabelnya mendekati nilai tertentu. Salah satu cara paling mudah untuk menentukan nilai limit adalah dengan metode substitusi langsung.

Metode ini digunakan apabila fungsi tidak menghasilkan bentuk tak tentu seperti $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Artikel ini akan membahas pengertian singkat metode substitusi serta memberikan 10 contoh soal limit yang dapat diselesaikan dengan cara tersebut.

Pengertian Metode Substitusi

Metode substitusi adalah cara mencari nilai limit dengan langsung menggantikan nilai yang didekati ke dalam fungsi. Jika hasil substitusi menghasilkan nilai tertentu dan terdefinisi, maka nilai tersebut merupakan nilai limitnya.

Secara umum: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$

Asalkan fungsi $f(x)$ terdefinisi di $x=a$

Contoh Soal dan Penyelesaian

1. $\lim\limits_{x\to 2}(3x+4)=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 2}(3x+4)=3(2)+4=10$

2. $\lim\limits_{x\to -1}(x^2+5x+6)=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to -1}(x^2+5x+6)=(-1)^2+5(-1)+6=2$

3. $\lim\limits_{x\to 3}(2x^2-x+1)=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 3}(2x^2-x+1)=2(3)^2-3+1=16$

4. $\lim\limits_{x\to 1}\frac{2x+3}{x+4}=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 1}\frac{2x+3}{x+4}=\frac{2(1)+3}{1+4}=\frac{5}{5}=1$

5. $\lim\limits_{x\to 0}(5x^3-2x+7)=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 0}(5x^3-2x+7)=5(0)^3-2(0)+7=7$

6. $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^2+1}{3x-5}=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^2+1}{3x-5}=\frac{(-2)^2+1}{3(-2)-5}=-\frac{5}{11}$

7. $\lim\limits_{x\to 4}\sqrt{x+5}=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 4}\sqrt{x+5}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$

8. $\lim\limits_{x\to 1}(x^3+2x^2-x+4)=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 1}(x^3+2x^2-x+4)=1^3+2(1)^2-1+4=6$

9. $\lim\limits_{x\to 2}\frac{4x^2}{x+3}=\dots$

   Penyelesaian

   $\lim\limits_{x\to 2}\frac{4x^2}{x+3}=\frac{4(2)^2}{2+3}=\frac{16}{5}$

10. $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{3x+9}=\dots$

    Penyelesaian

    $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{3x+9}=\sqrt{3(0)+9}=\sqrt{9}=3$

Metode substitusi merupakan cara paling sederhana dalam menentukan nilai limit. Oleh karena itu, penting bagi teman-teman untuk terlebih dahulu mencoba metode ini sebelum menggunakan teknik lain. Semoga artikel ini dapat membantu dalam memahami konsep limit dan menjadi referensi belajar yang bermanfaat. Jangan lupa untuk terus berlatih agar semakin mahir!

Carilah nilai $\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2}!$

Soal

Carilah nilai $\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2}!$

Penyelesaian

$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$

$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$

$\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2}=\lim\limits_{x\to 2} \frac{(x+4)\cancel{(x-2)}}{(x+1)\cancel{(x-2)}}$

$=\lim\limits_{x\to 2} \frac{x+4}{x+1}$

substitusi $x=2 \to \frac{x+4}{x+1}$

$=\frac{2+4}{2+1}=\frac{6}{3}=2$

Kesimpulan

Jadi, Nilai $\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-x-2}=2$

Perhatian

• $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$

• $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$

Cek Kebenaran

sebagai latihan mandiri

Vidio

Carilah nilai $\lim\limits_{x\to 4} \frac{x^2-16}{x-4}!$

Soal

Carilah nilai $\lim\limits_{x\to 4} \frac{x^2-16}{x-4}!$

Penyelesaian

Soal ini, bisa dikerjakan menggunakan cara memfaktorkan terlebih dahulu, karena jika langsung menggunakan cara substitusi, hasilnya akan $\frac{0}{0}$

$\lim\limits_{x\to 4}\frac{x^2-16}{x-4}=\lim\limits_{x\to 4}\frac{(x+4)\cancel{(x-4)}}{\cancel{x-4}}$

$=\lim\limits_{x\to 4}x+4$

substitusi $x=4 \to x+4$

$=4+4$

$=8$

Kesimpulan

Jadi, Nilai $\lim\limits_{x\to 4} \frac{x^2-16}{x-4}=8$

Perhatian

$x^2-16=(x+4)(x-4)$

Cek

$(x+4)(x-4)=x^2+4x-4x-16=x^2-16$

carilah nilai $\lim\limits_{x\to 4} \frac{(x-4)}{\sqrt{x}-2}$

Soal

carilah nilai $\lim\limits_{x\to 4} \frac{(x-4)}{\sqrt{x}-2}$

penyelesaian

$\lim\limits_{x\to 4}\frac{(x-4)}{\sqrt{x}-2}$

$=\lim\limits_{x\to 4}\frac{(x-4)}{\sqrt{x}-2} \times \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$

$=\lim\limits_{x\to 4}\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}$

$=\lim\limits_{x\to 4}(\sqrt{x}+2)$

Substitusi $x=4 \to \sqrt{x}+2$

$\lim\limits_{x\to 4}\sqrt{x}+2=\sqrt{4}+2=2+2=4$

Kesimpulan

Jadi, Nilai $\lim\limits_{x\to 4}\frac{(x-4)}{\sqrt{4}-2}=4$

Penyelesaian limit fungsi menggunakan cara memfaktorkan

Soal

Carilah Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x-2}$

Penyelesaian

$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x(x^2-4)}{x-2}$

$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x(x-4)(x+2)}{x-2} $

$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} x(x+2) $

substitusikan $x=2 \to x(x+2)$

$\lim\limits_{x \to 2} x(x+2)=2(2+2) =2(4)=8$

Kesimpulan

Jadi, nilai $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=8$

Vidio Penjelasan

Nilai $\lim\limits_{x\to 5}\sqrt{3x^2-11}-3x=\dots$

Nilai $\lim\limits_{x\to 5}\sqrt{3x^2-11}-3x=\dots$

A. $23$

B. $7$

C. $0$

D. $-2$

E. $-7$

Penyelesaian

$\lim\limits_{x\to 5}\sqrt{3x^2-11}-3x$

$=\sqrt{3(5)^2-11}-3(5)$

$=\sqrt{3(25)-11}-15$

$=\sqrt{75-11}-15$

$=\sqrt{64}-15$

$=8-15$

$=-7$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to 5}\sqrt{3x^2-11}-3x=-7$

Jawaban: E

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2-9x+20}{x-5}=\dots$

Nilai $\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2-9x+20}{x-5}=\dots$

A. $-2$

B. $-1$

C. $0$

D. $2$

E. $1$

Penyelesaian

$\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2-9x+20}{x-5}$

$=\lim\limits_{x\to 5}\frac{\cancel{(x-5)}(x-4)}{\cancel{x-5}}$

$=\lim\limits_{x\to 5}x-4$

$=5-4$

$=1$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to 5}\frac{x^2-9x+20}{x-5}=1$

Jawaban: E

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai dari $\lim\limits_{x\to 4}\frac{x^2-2x-8}{x-4}$

Nilai dari $\lim\limits_{x\to 4}\frac{x^2-2x-8}{x-4}$ adalah ...

A. $-4$

B. $-3$

C. $6$

D. $2$

E. $4$

Penyelesaian

$\lim\limits_{x\to 4}\frac{x^2-2x-8}{x-4}$

$=\lim\limits_{x\to 4}\frac{\cancel{(x-4)}(x+2)}{\cancel{x-4}}$

$=\lim\limits_{x\to 4}x+2$

$=4+2$

$=6$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to 4}\frac{x^2-2x-8}{x-4}=6$ nya adalah 7

Jawaban: C

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Diketahui $\lim\limits_{x\to 2}2x^2-px+5=-1$

Diketahui $\lim\limits_{x\to 2}2x^2-px+5=-1$

A. $-7$

B. $-6$

C. $-2$

D. $2$

E. $7$

Penyelesaian

$\lim\limits_{x\to 2}2x^2-px+5=-1$

$2(2)^2-p(2)+5=-1$

$2(4)-2p+5=-1$

$8-2p+5=-1$

$13-2p=-1$

$-2p=-1-13$

$-2p=-14$

$-p=-\frac{14}{2}$

$-p=-7$

$p=7$

Kesimpulan

Jadi nilai $p$ nya adalah 7

Jawaban: E

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to 3}(x+5)(2x-7)=\dots$

Nilai $\lim\limits_{x\to 3}(x+5)(2x-7)=\dots$

A. $-8$

B. $-7$

C. $0$

D. $8$

E. $4$

Penyelesaian

cara substitusi

cara ribet

$(x+5)(2x-7) \to 2x^2+3x-35$

maka soal akan berubah menjadi

$\lim\limits_{x\to 3}2x^2+3x-35$

$=2(3)^2+3(3)-35$

$=18+9-35$

$=-8$

cara sederhana

$\lim\limits_{x\to 3}(x+5)(2x-7)$

$=(3+5)(2(3)-7)$

$=(8)(6-7)$

$=(8)(-1)$

$=-8$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to 3}(x+5)(2x-7)=-8$

Jawaban: A

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to 1}(x^4+x^3-3x^2-1)(x^3-2x+3)=\dots$

Nilai $\lim\limits_{x\to 1}(x^4+x^3-3x^2-1)(x^3-2x+3)=\dots$

A. $-8$

B. $-4$

C. $0$

D. $8$

E. $4$

Penyelesaian

cara substitusi

$\lim\limits_{x\to -3}(x^4+x^3-3x^2-1)(x^3-2x+3)$

$=(1^4+1^3-3(1)^2-1)(1^3-2(1)+3)$

$=(-2)(2)$

$=-4$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to -3}(x^4+x^3-3x^2-1)(x^3-2x+3)=-4$

Jawaban: B

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to -3}(x^2-5)^3=\dots$

Nilai $\lim\limits_{x\to -3}(x^2-5)^3=\dots$

A. $4$

B. $8$

C. $27$

D. $64$

E. $81$

Penyelesaian

cara substitusi

$\lim\limits_{x\to -3}(x^2-5)^3$

$=((-3)^2-5)^3$

$=(9-5)^3$

$=4^3$

$=64$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to -3}(x^2-5)^3=64$

Jawaban: D

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to 5}(x^2+2x+1)=\dots$

Nilai $\lim\limits_{x\to 5}(x^2+2x+1)=\dots$

A. $6^{-2}$

B. $6^{-1}$

C. $6^0$

D. $6^1$

E. $6^2$

Penyelesaian

cara substitusi

$\lim\limits_{x\to 5}(x^2+2x+1)$

$=5^2+2(5)+1$

$=25+11$

$=36$

$=6\times 6$

$=6^2$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to 5}(x^2+2x+1)=6^2$

Jawaban: E

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to -5} 4x^2+2x-1=\dots$

Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x\to -5} 4x^2+2x-1=\dots$

A. 111

B. 109

C. 89

D. 41

E. 39

Penyelesaian

cara substitusi

$\lim\limits_{x\to -5}4x^2+2x-1$

$=4(-5)^2+2(-5)-1$

$=4(25)-10-1$

$=100-11$

$=89$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to -5}4x^2+2x-1=89$

Jawaban: C

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai $\lim\limits_{x\to -3} 2x=\dots$

$\lim\limits_{x\to -3} 2x=\dots$

A. -6

B. -5

C. -1

D. 5

E. 6

Penyelesaian

cara substitusi

$\lim\limits_{x\to -3}2x=2(-3)=-6$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to -3}2x=-6$

Jawaban: A

Muda Berkarya Intelektual Normatif

$\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-9}{2x^2-7x+3}=\dots$

$\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-9}{2x^2-7x+3}=\dots$

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{5}{6}$

C. $\frac{6}{7}$

D. $\frac{7}{6}$

E. $\frac{6}{5}$

Penyelesaian

$\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-9}{2x^2-7x+3}$

$=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x+3)\cancel{(x-3)}}{(2x-1)\cancel{(x-3)}} $

$=\lim\limits_{x\to 3}\frac{x+3}{2x-1}$

$=\frac{3+3}{2(3)-1}$

$=\frac{6}{6-1}$

$=\frac{6}{5}$

Kesimpulan

Jadi nilai $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^2-9}{2x^2-7x+3}=\frac{6}{5}$

Jawaban: E

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Nilai dari $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\dots$

Nilai dari $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\dots$

A. 32

B. 16

C. 8

D. 4

E. 2

Jawab

cara substitusi

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\frac{2^3-4(2)}{2-2}$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\frac{8-8}{0}$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\frac{0}{0}$

karena hasil dari cara substitusi adalah $\frac{0}{0}$ maka harus cari cara yang lain

cara faktor

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\frac{x(x^2-4)}{x-2}$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}x \times \lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}x \times \lim\limits_{x\to 2} \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{x-2}}$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2} x \times \lim\limits_{x\to 2} (x+2)$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2} 2 \times \lim\limits_{x\to 2} (2+2)$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}= 2 \times 4$

$\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}= 8$

Kesimpulan

Jadi, nIlai $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-4x}{x-2}=8$

Jaawaban: D

Muda Berkarya Intelektual Normatif