Contoh Soal dan Penyelesaian Barisan dan Deret Aritmatika part#1

Suatu barisan bilangan dengan rumus suku ke-n adalah $U_n=\frac{n^2+2}{3n-8}$. Nilai $U_4=\dots$

A. $\frac{9}{2}$

B. $4$

C. $\frac{7}{2}$

D. $3$

E. $\frac{5}{2}$

PENYELESAIAN

Diketahui

$U_n=\frac{n^2+2}{3n-8}$

Ditanya:

$U_4=?$

Jawab

$U_4=\frac{4^2+2}{3(4)-8}$

$U_4=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$

Diketahui barisan aritmatika dengan suku kelima dan suku kedua belas berturut-turut adalah 18 dan 39. Suku ketiga puluh dari barisan aritmatika tersebut adalah ...

A. 90

B. 93

C. 96

D. 177

E. 183

PENYELESAIAN

Diketahui:

$U_5=18\to a+4b={18}_{.}.......(1)$

$U_{1}2=39\to a+11b={39}_{.}.....(2)$

Ditamya: $U_{30}=?$

Jawab

mencari nilai b

kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1

$a+11b=39$

$\underset{―}{a+4b=18}$

$7b=21$

$b=3$

menentukan nilai a

$a+4b=18$

$a+4(3)=18$

$a+12=18$

$a=6$

$U_{30}=?$

$U_{30}=a+(n-1)b$

$U_{30}=6+(29)3$

$U_{30}=6+87=93$

Rumus suku ke-n suatu barisan bilangan adalah $U_n=3n^2-5$. Nilai $U_3+U_7$ adalah ...

A. 164

B. 150

C. 142

D. 136

E. 120

PENYELESAIAN

Diketahui

Rumus suku ke-n: $U_n=3n^2-5$

Jawab

Mencari nilai $U_7$

$U_7=3(7{)}^2-5$

$U_7=3(49)-5$

$U_7=142$

Mencari nilai $U_3$

$U_3=3(3{)}^2-5$

$U_3=27-5=22$

$U_3+U_7$

22+142=164

Rumus suku ke-n suatu barisan bilangan adalah $U_n=3n^2-5$. Nilai $U_3+U_7$ adalah ...

A. $164$

B. $150$

C. $142$

D. $136$

E. $120$

PENYELESAIAN

$U_3=3(3^2)-5$

$U_3=27-5=22$

$U_7=3(7^2)-5$

$U_7=147-5=142$

$U_3+U_7=22-142=164$

Kesimpulan

Jadi, Nilai $U_3+U_7$ adalah 164

Pada suatu barisan aritmatika diketahui suku ketiganya adalah 14 dan suku kesembilannya adalah 32. Jika suku terakhirnya adalah 125, banyak suku dalam barisan tersebut adaah...

A. 42

B. 41

C. 40

D. 39

E. 38

PENYELESAIAN

Diketahui

$U_3=14\to a+2b={14}_{.}............(1)$

$U_9=32\to a+8b={32}_{.}.............(2)$

$U_n=125\to a+(n-1)b={125}_{.}.........(3)$

Ditanya: banyak suku?

Jawab

mencari nilai b

kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1

$a+8b=32$

$\underset{―}{a+2b=14}$

$6b=18$

$b=3$

Mencari nilai a

Substitusikan nilai b ke persamaan 1

$a+2b=14$

$a+2(3)=14$

$a+6=14$

$a=8$

mencari nilai n

Substitusikan nilai a dan b ke persamaan 3

$U_n=a+(n-1)b$

$125=8+(n-1)3$

$117=(n-1)3=$

117=3n-3

120=3n

40=n

Pada suatu barisan aritmatika diketahui suku kelimanya adalah 23 dan suku kedua belasnya adalah 51. Suku ketiga barisan aritmatika tersebut adalah...

A. 25

B. 23

C. 19

D. 18

E. 15

PENYELESAIAN

Diketahui

$U_5=23\to a+4b={23}_{.}............(1)$

$U_{1}2=51\to a+11b={51}_{.}.............(2)$

Ditanya: $U_3$?

Jawab

mencari nilai b

kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1

$a+11b=51$

$\underset{―}{a+4b=23}$

$7b=28$

$b=4$

Mencari nilai a

Substitusikan nilai b ke persamaan 1

$a+4b=23$

$a+4(4)=23$

$a+16=23$

$a=7$

$U_3=a+2b$

$U_3=7+2(4)$

$U_3=7+8$

$U_3=15$

Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima adan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ...

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

PENYELESAIAN

Diketahui:

$a=U_3=36$

$U_5+U_7=144$

Ditanya:$(s_{10}?)$

Jawab

$U_3=36\to a+2b={36}_{.}........(1)$

$U_5+U_7=144\to (a+4b)+(a+6b)=144$

$2a+10b=144\to a+5b={72}_{.}........(2)$

mencari nilai b

Kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1

$a+5b=72$

$\underset{―}{a+2b=36}$

$3b=36$

$b=12$

mencari nilai a

$a+2b=36$

$a+2(12)=36$

$a+24=36$

$a=12$

mencari $U_{10}$

$U_{10}=a+9b=12+9(12)=12+108=120$

$s_{10}=\frac{n}{2}(a+U_{10})$

$s_{10}=\frac{10}{2}(12+120)$

$s_{10}=5(132)$

$s_{10}=660$

Kesimpulan

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 660

Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya meurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua adalah 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ...

A. 60

B. 65

C. 70

D. 75

E. 80

PENYELESAIAN

misal $U_1=$ anak pertama, $U_2=$ anak kedua, $U_3$= anak ketiga, $U_4=$ anak keempat, dan $U_5=$ anak kelima

$U_2=a+b={11}_{.}..............(1)$

$U_4=a+3b={19}_{.}..............(2)$

mencari nilai b

kurangkan persamaan 2 dengan persamaan 1

$a+3b=19$

$\underset{―}{a+b=11}$

$2b=8$

$b=4$

mencari nilai a

$a+b=11$

$a+4=11$

$a=7$

mencari nilai $U_5$

$U_5=a+4b=7+4(4)=7+16=23$

mencari jumlah permen

$s_5=\frac{5}{2}(a+U_4)$

$s_5=\frac{5}{2}(7+23)$

$s_5=\frac{5}{2}(30)$

$s_5=5(15)=75$

Kesimpulan

Jadi, jumlah permen ibu adalah 75 permen

Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah...

A. Rp1.315.000,00

B. Rp1.320.000,00

C. Rp2.040.000,00

D. Rp2.580.000,00

E. Rp2.640.000,00

PENYELESAIAN

Diketahui:

uang anak tersebut akan membentuk deret aritmatika 50.000, 55.000, 60.000, ...

2 tahun$=U_n=24$

$a=50.000$

$b=5.000$

Ditanya: $s_n=?$

jawab

$U_n=U_{2}4$

$U_{24}=a+(n-1)b$

$U_{2}4=50.000+(23)5.000$

$U_{24}=50.000+115.000$

$U_{24}=165.000$

$s_{24}=\frac{n}{2}(a+U_{24})$

$s_{24}=\frac{24}{2}(50.000+165.000)$

$s_{24}=12(215.000)=2.580.000$

Kesimpulan

Jadi, besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah Rp2.580.000,00

Pada suatu barisan aritmatika diketahui suku kelimanya adalah 23 dan suku kedua belasnya adalah 51. Suku ketiga barisan aritmatika tersebut adalah...

A. $25$

B. $23$

C. $19$

D. $23$

E. $15$

PENYELESAIAN

Rumus

$U_n=a+(n-1)b$

Diketahui:

$U_5=23\to 23=a+4b_{............(1)}$

$U_{12}=51\to 51=a+11b_{..........(2)}$

Ditanya: $U_3$

Jawab

untuk mencari nilai b, kurangkan persamaan 1 dengan persamaan 2 atau boleh sebaliknya

$51=a+11b$

$\underset{―}{23=a+4b}$

$28=7b$

$\frac{28}{7}=b$

4=b

mencari nilai a

$23=a+4b$

$23=a+4(4)$

$23=a+16$

$7=a$

Mencari $U_3$

$U_3=a+(n-1)b$

$U_3=7+(3-1)4$

$U_3=7+2\times 4$

$U_3=7+8=15$

Kesimpulan

Jadi, nilai $U_3$ adalah 15

Muda Berkarya Intelektual Normatif

Muda Berkarya Intelektual Normatif